月亮也在
下落

0.1月球上的一次下注

录像里，锤子和羽毛并排下落，同时砸起一小撮月尘。斯科特说：“瞧啊，伽利略先生的发现是对的。”

如果你押的是“同时”，恭喜你。可你也许会觉得哪里不对劲：在地球上，羽毛明明是飘着下来的。你从小就见过。那么，到底是地球上的眼睛骗了你，还是月球上的录像骗了你？

答案是：两个都没骗你。羽毛在地球上慢，是因为空气在托着它；月球几乎没有空气，这层干扰被拿掉，物体下落最本来的样子就露了出来。这件事，伽利略在 17 世纪初就推理出来了，而人类真正在一个没有空气的“大实验室”里当众演示它，已经是 1971 年。

0.2第一个反差：常识错了两千年

“重的东西落得快”，听上去就是常识。古希腊哲学家亚里士多德把它写进了书里，此后将近两千年，欧洲的大学都这样教。

这不是因为古人笨。你把一块石头和一片树叶同时扔下，石头的确先落地。亚里士多德看到的现象是真实的，他只是把“空气的干扰”和“下落本身的规律”搅在了一起。

这就是本书要反复练习的一种思考方式，叫第一性原理：不接受“看上去如此”的结论，而是把一件事拆到最底层，一层一层地问：到底是什么在起作用？把空气拿掉，还剩下什么？

0.3第二个反差：三个人回家的路

比这根羽毛更让人吃惊的，是事后 NASA 报告里的一句话。负责描述这次演示的任务控制员乔·艾伦写道：结果符合早已确立的理论，但这仍然令人安心——因为回家的旅程，关键地依赖于正在被检验的这一理论。

他说的“这一理论”，就是英国人艾萨克·牛顿在 1687 年出版的一本书里写下的运动定律和万有引力定律。那本书用拉丁文写成，名叫《自然哲学的数学原理》，后人简称《原理》。

请把这两个年份放在一起看：1687 年，牛顿用鹅毛笔写字，蒸汽机还没有被发明，英国人点蜡烛照明；1971 年，三名宇航员在离地球 38 万公里的地方，把自己回家的路押在这本书上。火箭什么时候点火、点多久、朝哪个方向，飞船会沿什么轨道飞回地球、以多快的速度冲进大气层，全靠牛顿的几条定律一步步算出来。

这就是科学理论值得信任的方式：它给出精确的预言，而这些预言本来可能失败。牛顿的理论预言过彗星哪一年回来、一颗没人见过的行星藏在天空哪个位置、月亮每个月怎样“下落”，它都说对了。三百年里，它被检验了无数次；阿波罗 15 号的锤子与羽毛，只是其中一次当着全世界观众进行的检验。

0.4五个悬念

在出发之前，先留下五个问题。你大概都见过这些场景，可未必想过为什么。它们会在后面的章节里一个一个被解开。

0.5这本书怎么走

复杂的道理没法一步跳进脑子里，只能一级一级地搭上去。本书按“黄金圈”的顺序安排：先问为什么需要一套新的物理，再看它怎样一块积木一块积木地搭起来，最后看它能做什么、在哪里止步。

书里的每个小节都标了学段：初中、高中、拓展。初中生可以先走标着“初中”的台阶，把整条路看一遍；高中生则可以完整地走完。无论你在哪个年级，都请一步一步走，不要跳。后面的每一级都踩在前面那一级上。

这卷胶片的最后一帧，会落在书名上：月亮也在下落。等你读到第 12 章，你会发现这句话不是比喻，而是一个可以用初中数学验算的事实。

上一章留下的问题：可是，在伽利略之前的两千年里，最聪明的人都相信“重的东西落得快”。他们为什么会这样想？

要回答“他们为什么会这样想”，最好的办法不是翻古书，而是先看看你自己是怎样想的。每个人脑子里都有一套从小摸爬滚打中攒下的“直觉物理学”。它帮你接住飞来的球、端稳一碗汤，大多数时候很好用。可一旦走出日常经验，它就会悄悄出错，错的方向恰恰和亚里士多德一样。

1.1三道直觉题初中

心理学家麦克洛斯基等人在 1980 年代做过类似的测试：不少上过物理课的大学生，也会画出“继续绕弯”的轨迹，或者认为包裹会落在飞机后方。你可以对照一下答案。

三道题的错误答案有一个共同的根：我们默认运动需要一个“原因”来维持。球还在绕弯，好像是因为它“记得”自己在转圈；包裹落在后面，好像是因为离开飞机后没有东西推它前进；球还在往上走，好像是因为有一股“向上的力”还没用完。

这个默认的想法，正是亚里士多德物理学的核心。

1.2亚里士多德的世界拓展

亚里士多德生活在公元前 4 世纪，是柏拉图的学生、亚历山大大帝的老师。他把地上的运动分成两类：

• 第一，自然运动。石头往下落、火苗往上蹿，是因为每样东西都想回到自己“天然的位置”：重的东西属于大地，所以向下；轻的东西属于天空，所以向上。越重的东西，“回家”的愿望越强，落得越快。
• 第二，受迫运动。马拉车、人推箱子，是违背天性的运动，必须有一个推动者一直在推。推动者一停，运动就停。

他还算过一笔账：物体下落的速度，与它的重量成正比，与它穿过的介质（空气、水）的阻力成反比。按这个比例关系，如果阻力为零，速度就会变成无穷大。这太荒唐了，所以他得出结论：真空不可能存在。

请注意这套理论的逻辑有多完整：它解释了落体，解释了推车，还顺手“证明”了真空不存在。一个自洽、好用、符合日常经验的理论，统治了将近两千年。

1.3在有摩擦的世界里，他几乎是对的初中

我们不妨替亚里士多德辩护几句。你推一个装满书的箱子，一松手，它确实停了。马不拉，车确实不走。石头和树叶一起扔下，石头确实先落地。他没有看错任何一件事。

地球就是那片泥地。摩擦力和空气阻力无处不在，它们一刻不停地拖慢一切运动，于是“运动需要一直推”看上去就像自然规律。亚里士多德的错，不在观察，而在于没有把干扰和规律分开。

1.4裂缝：扔出去的石头，谁在推它？拓展

亚里士多德的体系有一处让人一直不太舒服：你把石头扔出去，手已经离开了它，石头却还在飞。按照“受迫运动必须有推动者”，此刻是谁在推它？

亚里士多德的回答是：空气。石头往前冲，前面的空气被挤开，绕到后面去推它。这个解释很勉强，因为空气明明在阻碍运动，怎么又成了推动者？

公元 6 世纪，亚历山大港的学者菲洛波努斯提出了另一种想法：扔石头时，手把一种“推动力”注入了石头，石头带着这股力飞行，力慢慢耗尽，石头就落下。到了 14 世纪，巴黎的布里丹把它发展成“冲力”学说。他甚至猜测，天上的星体之所以转个不停，是因为那里没有阻力，冲力不会耗尽。

“冲力”离真相已经很近了，但它还差最关键的一步。它仍然认为运动需要物体内部的某样东西来“供给”：菲洛波努斯认为这股推动力会自己耗尽，布里丹认为它可以持久，但两人都认为运动需要被维持。而你在 1.1 节的第 C 题里，如果选了“还有一股向上的力”，那么你的直觉用的恰恰就是 14 世纪的冲力学说。

1.5中国古人看到了什么拓展

在东方，古人也观察到了相关的现象。战国时期的《墨经》写道：“力，形之所以奋也。”常见的解释是：力，是使物体运动起来、运动得更快的原因。这句话把力和“运动的改变”联系在一起，而不是和“运动本身”联系在一起。

《考工记》讲造车时写道：“劝登马力，马力既竭，辀犹能一取焉。”意思是马已经停止用力，车还能再往前走一段。这常被看作对惯性现象的早期记录。

不过要说清楚边界：这些是敏锐的观察和概括，还没有形成可以计算、可以预言的定律体系。从“看到现象”到“写出定律”，中间还隔着伽利略的实验、笛卡尔的直线、牛顿的数学。

1.6第一性原理：把摩擦拿掉初中

现在，用序章学到的办法，把干扰一层一层拿掉。

你刚刚完成的推理，是物理学史上最重要的推理之一。现实中没有“零摩擦”的表面，你没法做这个实验；可是通过一串越来越接近的实验，你可以推断极限情况下会发生什么。这种“把条件推到极限”的想象，叫理想实验，伽利略把它用得炉火纯青。第 6 章我们会看到，他正是用这种办法推出了惯性。

上一章留下的问题：推翻一套用了两千年的直觉，靠一个人是不够的。是哪些人，一级一级搭起了通往牛顿的台阶？

1676 年，33 岁的牛顿在给同行胡克的信里写下一句后来人人皆知的话：“如果说我看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”这句话不是他的原创，12 世纪的法国学者沙特尔的伯纳德就用过类似的比喻。但放在牛顿身上，它几乎是字面意义上的事实。

这一章，我们一个一个地认识那些巨人。请留意：每个人都只解决了问题的一小块，而且每个人都留下了一个自己没能回答的问题。牛顿的工作，就是把这些零件拼成一台能运转的机器。

2.1哥白尼：换一个中心拓展

1543 年，波兰天文学家哥白尼出版《天体运行论》，提出太阳才是中心，地球每天自转一圈、每年绕太阳转一圈。

这个想法让天文计算变得简洁，却给物理学留下一个大麻烦。如果地球在飞快地转动，我们为什么一点都感觉不到？按照亚里士多德的物理，你竖直向上跳，落地前地球已经转走了，你应该落在原地的西边才对。可事实并非如此。

哥白尼回答不了这个问题。这是他留给后人的第一道题。

2.2开普勒：天空的数据高中

丹麦天文学家第谷用肉眼（那时还没有望远镜）记录了二十多年的行星位置，精度前所未有。他去世后，助手开普勒接手这批数据，花了好几年死磕火星的轨道。他试了一个又一个圆形轨道，总有 8 角分（大约满月直径的四分之一）的误差对不上。他没有放过这点误差，最后得出结论：轨道根本不是圆，是椭圆。

注：椭圆有两个“焦点”，太阳在其中一个上；“半长轴”是椭圆最长直径的一半，可以近似理解为行星到太阳的平均距离。

开普勒准确描述了行星怎样运动，却说不清为什么。他猜测太阳发出某种“力”推着行星转，可那究竟是什么力、遵循什么规律，他算不出来。这是第二道题。

2.3伽利略：用实验和数学拆掉旧世界初中

和开普勒同时代的意大利人伽利略，做了三件改变物理学的事。

第一，他用逻辑证明了“重的落得快”自相矛盾。他在 1638 年的《两门新科学》里设计了一段对话：

不用爬任何塔，只凭推理就推翻了一条两千年的“定律”。（至于伽利略是否真在比萨斜塔上扔过两个球，这个故事出自他晚年学生维维亚尼的记述，历史学家至今有争议。）

第二，他把运动“量”了出来。那时没有精确的钟表，自由落体又太快，没法直接测量。伽利略想出一个办法：让铜球沿着很长、很光滑的斜面滚下来，把运动“放慢”，再用水钟（称流出的水有多重）来计时。他发现，从静止开始，走过的距离与时间的平方成正比。14 世纪的学者已经在纸面上讨论过均匀加速的运动，但伽利略第一次用实验证实：自由落体正是这样一种运动，并用数学准确地描述了它。第 4 章会亲手推导它。

第三，他回答了哥白尼的难题。他说：想象你在一艘平稳航行的大船船舱里，蝴蝶照样四处飞，鱼缸里的鱼照样游，水滴照样竖直落进下面的瓶口。你做任何实验，都分辨不出船是停着还是在匀速前进。同样的道理，地球带着你一起运动，你往上跳，你本来就和地球一起向前运动，落地时自然还在原处。

伽利略已经非常接近惯性定律了。但他留下了一个缺口：他所说的“保持运动”，想的主要是沿着地面（也就是沿着一个大圆）运动。这是第三道题。

2.4笛卡尔、惠更斯、胡克：最后三块零件拓展

法国哲学家笛卡尔在 1644 年的《哲学原理》里，把伽利略的想法说得更干脆：物体如果不受干扰，会保持原来的状态；而且它会沿直线运动。任何弯曲，都说明有东西在干扰它。

这一下，问题变了。行星绕太阳走的是弯的路，所以一定有东西在不停地把它往弯里拉。拉力多大？荷兰物理学家惠更斯研究了绳子拴着小球转圈的问题，在 1673 年出版的《摆钟论》里给出了结论：转圈需要的力（他称之为“离心力”，大小与今天所说的向心力相同），与速度的平方成正比，与半径成反比（今天写作 v²/r，第 10 章会推导）。

英国人胡克则在 1679 年底写信给牛顿，提出一个关键的思路：行星的运动可以拆成两部分，一部分是沿切线的直线运动，另一部分是被太阳吸引、向中心的“下落”。在后来的信中，他还猜测这个吸引力与距离的平方成反比。可他证明不了：由这样一个力，能不能推出开普勒的椭圆？

2.5牛顿：瘟疫年里的年轻人初中

牛顿 1642 年圣诞节出生在英格兰乡下的伍尔索普（这是英国当时使用的旧历；按今天的公历是 1643 年 1 月 4 日）。他是早产儿，据说小到可以放进一只一夸脱的罐子里。父亲在他出生前就去世了，母亲改嫁，他由外祖母带大。

1665 年，他刚从剑桥大学毕业，伦敦爆发大瘟疫，大学停课。他回到乡下待了一年多。就在这段时间里，他发明了后来叫做微积分的数学方法，用棱镜研究了光的颜色，并开始思考：让苹果落地的力，能不能一直延伸到月亮？晚年他回忆说，那时正是他一生中“最富于发明的年华”。

但他没有发表。他把这些想法锁在笔记里，一放就是将近二十年。

2.61684：一次拜访拓展

接下来的一年半，牛顿几乎把自己关在房间里写作，常常忘了吃饭。9 页纸，长成了三卷本的《自然哲学的数学原理》。

2.7一本鱼类图鉴差点挡住了它拓展

书稿写成了，出版却卡住了。皇家学会同意出版，可就在同一年（1686 年），学会刚刚出了一本装帧精美、插图昂贵的《鱼类史》，结果卖不出去，账上没钱了。

最后，是哈雷自掏腰包出版了《原理》。他还一手包办了校对、和印刷商打交道、安抚牛顿的脾气——这时胡克声称平方反比是他先想到的，牛顿大怒，一度威胁要撤下第三卷。据记载，学会后来因为发不出哈雷的薪水，就用卖剩的《鱼类史》抵账。

1687 年 7 月，《原理》出版。人类历史上最重要的科学著作之一，差一点被一本鱼类图鉴挡在了印刷厂门外。

2.8《原理》是一本什么样的书高中

《原理》模仿古希腊欧几里得的《几何原本》：先给出定义，再列出公理，然后一条一条推出命题。它的结构如下。

牛顿并没有假装定律是自己凭空想出来的。在三条定律后面的附注里，他写道：伽利略已经用前两条定律发现了落体的距离与时间的平方成正比、抛体沿抛物线运动；雷恩、沃利斯和惠更斯关于碰撞的研究，与第三条定律相符。

上一章留下的问题：伽利略改变物理的第一步，是把“运动”量出来。怎样精确地描述一个东西在动？

在追问“为什么动”之前，得先把“怎样动”说清楚。这听上去简单，可你试着回答一个问题：此刻，你是静止的，还是在运动？

你坐在椅子上，当然是静止的。可地球在自转，你所在的地方（在中纬度）正以每秒三四百米的速度向东转；地球还带着你绕太阳跑，每秒约 30 公里。这两个答案都对，只是说的“相对于谁”不一样。

3.1参照物：先说“相对于谁”初中

一首老歌里唱：“小小竹排江中游，巍巍青山两岸走。”青山明明不会走，为什么歌词说它在走？因为唱歌的人坐在竹排上，以竹排为参照，青山就在往后退。

你大概也有过这种经历：坐在停着的火车上，看到旁边的列车缓缓开动，一时分不清是哪一列在动。只看窗外的那列车，你没有办法判断；要看一眼站台上不动的柱子，才能确定。

这个“谁”叫参照物：描述运动时被当作“不动”的那个物体。选不同的参照物，同一个物体的运动情况可以不同。这就是运动的相对性。第 2 章里，伽利略用船舱回答“地球在动我们为什么感觉不到”，靠的正是这一点。

3.2质点与参考系：物理学家的简化高中

一辆汽车在路上开，它的轮子在转，雨刷在摆，车里的人在说话。要描述“汽车从北京开到天津”，这些细节统统不重要。物理学家说：把汽车看成一个质点——一个有质量、但没有大小的点。

什么时候能这样简化？看问题需不需要物体的大小和形状。研究地球绕太阳公转，地球可以当作质点（它的直径不到日地距离的万分之一）；研究地球自转为什么有昼夜，就不能当质点了。

高中物理把“参照物”说得更完整，叫参考系：选定参照物后，再在上面固定一把尺子（坐标轴）和一只钟。有了参考系，物体在哪里、在什么时候，就都能用数字写下来。

3.3位置、路程与位移高中

从家到学校，你沿着街道拐了几个弯，一共走了 1.6 公里。这是路程：实际走过的轨迹的长度。

但如果有一架无人机从你家直接飞到学校，它飞的是一条直线，约 1.2 公里，方向东北。这根从起点指向终点的箭头，叫位移。它不仅有大小，还有方向。

像位移这样既有大小又有方向的量，叫矢量；只有大小的量（比如路程、时间、质量），叫标量。物理学里的矢量通常画成箭头：箭头的长度表示大小，箭头的指向表示方向。本书会一直使用这个约定：蓝色箭头表示速度和位移，红色箭头表示力。

3.4速度：一秒钟走多远初中

比较谁跑得快，有两种办法：同样的时间比谁跑得远，或者同样的距离比谁用时短。把这两种办法合成一个数，就是速度：

高中把它说得更精确：速度是位移除以时间，所以速度也是矢量，有方向。瞬时速度的大小叫速率。注意：平均速率 = 路程 ÷ 时间，一般不等于平均速度的大小。在跑道上跑一整圈回到起点，平均速度为零，平均速率却不为零。

平均速度与瞬时速度

高速公路上有两种测速。一种是“区间测速”：记下你进入和离开某一段路的时间，用路程除以时间。它测的是平均速度，中间你快一阵慢一阵，它不管。

另一种是路边的雷达测速，它测的是你经过那一点时的速度，也就是瞬时速度。汽车仪表盘上的数字，也是瞬时速度。

可是，“一瞬间”的速度要怎么算？一瞬间走过的距离是零，用的时间也是零，零除以零没有意义。办法是：取一段很短的时间，比如 0.1 秒、0.01 秒、0.001 秒……时间段越短，算出来的平均速度就越接近那一刻的真实速度。当时间段无限缩短时，平均速度趋近的那个值，就是瞬时速度。这种“无限缩短”的想法，正是牛顿在《原理》开头写下的“最初比与最终比”，第 11 章会再见到它。

3.5位置—时间图：把运动画出来高中

一串数字不如一张图直观。把时间画在横轴、位置画在纵轴，运动就变成了一条线。

这张图教会我们读运动的第一个“语法”：位置—时间图上，线的斜率就是速度。如果线是弯的，说明速度在变；某一点的切线斜率，就是那一刻的瞬时速度。

3.6相对速度：迎面而来的两列车高中

两列火车相向而行，各以 100 km/h 行驶。站在其中一列车上看，另一列车以多快的速度冲过来？答案是 200 km/h。如果两车同向而行，一列 100、一列 120，快车上的人看慢车，慢车正以 20 km/h 往后退。

这就是速度的相对性：换一个参考系，速度就要跟着换算。空中加油时，加油机和受油机都以几百公里的时速飞行，可它们之间的相对速度几乎为零，所以才能连上油管。

上一章留下的问题：速度常常在变：起跑、刹车、下落。怎样描述“速度在变”？

汽车广告喜欢写“百公里加速 3.5 秒”。这句话说的不是车有多快，而是它变快有多快。一辆时速 300 公里、平稳巡航的高铁，你坐在里面几乎感觉不到什么；一辆从静止猛踩油门的跑车，会把你按在座椅上。让你有感觉的，不是速度，是速度的变化。

这一章要给“速度的变化”起一个名字，并且学会计算它。这是整本书最关键的一块积木：第 7 章我们会发现，力直接管的正是它。

4.1加速度：速度变化的快慢高中

比较两辆车：甲车 3.5 秒从 0 加速到 100 km/h，乙车用了 10 秒。谁“变快”得更快？当然是甲。我们用每秒钟速度改变多少来衡量，这个量叫加速度：

100 km/h 约等于 27.8 m/s。甲车的加速度是 27.8 ÷ 3.5 ≈ 7.9 m/s²，意思是每过一秒，速度增加约 7.9 m/s（约 28 km/h）；乙车只有约 2.8 m/s²。

加速度也是矢量，有方向。踩刹车时，速度在变小，加速度的方向与运动方向相反；取运动方向为正时，它写成负数，叫减速。

4.2速度—时间图：面积就是位移高中

第 3 章我们画了位置—时间图。现在换一种画法：横轴还是时间，纵轴改成速度。

匀速运动的速度不变，图线是一条水平线。6 秒、每秒 2 米，走了 12 米——恰好是图线下方那个长方形的面积（宽 6 × 高 2）。这不是巧合：“速度 × 时间 = 位移”，而长方形面积正是“高 × 宽”。

如果速度在均匀增加呢？比如初速度 2 m/s，加速度 1 m/s²，图线变成一条斜线。这时怎么算位移？

这个“切成细条再加起来”的思路，就是积分的核心想法。伽利略用几何做过类似的论证，牛顿在《原理》第一卷开头把它发展成了严格的方法。你刚才已经亲手用了一次。

4.3匀变速直线运动的三个公式高中

加速度不变的直线运动，叫匀变速直线运动。有了上面那张图，三个公式可以直接“读”出来，不用死记。

第一，速度公式。速度从 v₀ 开始，每秒增加 a，过了 t 秒：

第二，位移公式。斜线下的面积 = 底部长方形 + 顶上三角形。长方形宽 t、高 v₀；三角形底 t、高 at：

第三，不含时间的公式。有时候我们不知道用了多久，只知道速度变化和距离。由第一个公式得 t = (v − v₀)/a，代入第二个公式并整理，得到：

4.4伽利略的斜面：1、3、5、7高中

伽利略没有这些公式，他只有斜面和水钟。他让铜球从静止开始沿斜面滚下，发现一个漂亮的规律：在连续相等的时间里，小球走过的距离之比是 1 : 3 : 5 : 7 : ……，恰好是连续的奇数。

为什么是奇数？从静止开始（v₀ = 0），位移 x = ½at²，与时间的平方成正比。第 1、2、3、4 秒末的总距离之比是 1 : 4 : 9 : 16。相邻两个数相减，每一秒内走的距离就是 1、3、5、7。

伽利略还想到：斜面越陡，小球越接近自由下落；而无论多陡，这个奇数规律都成立。所以他推断，自由落体也是匀加速运动。斜面的作用，是把太快、测不准的下落“放慢”到能用水钟测量的程度。

4.5自由落体：所有物体一样快初中

只受重力、从静止开始下落的运动叫自由落体。在地面附近，它的加速度约为 9.8 m/s²，用字母 g 表示，叫重力加速度。每过一秒，下落的速度增加约 9.8 m/s（约 35 km/h）。

现在回到序章的锤子与羽毛。月球表面的重力加速度约 1.62 m/s²，只有地球的约六分之一。从 1.6 米高处下落，t = √(2h/g) = √(2 × 1.6 ÷ 1.62) ≈ 1.4 秒。锤子是 1.4 秒，羽毛也是 1.4 秒。

4.6刹车距离：为什么超速特别危险高中

司机看到危险到车停下，要经过两段距离。第一段是反应距离：从看见到踩下刹车，大约要 1 秒，这 1 秒里车还在以原速前进。第二段是刹车距离：踩下刹车后，车匀减速到停，由 v² = 2ax 得 x = v²/(2a)（a 取减速度的大小）。

上一章留下的问题：会描述运动了，可还没问“为什么”。是什么让速度发生改变？

踢一脚足球，球飞出去；捏一下橡皮泥，它变了形；用磁铁靠近铁钉，铁钉自己跳了过来。这些事情有一个共同的名字：力。

这一章先不急着问“力怎样改变运动”（那是第 6、7 章的事），而是先认识力本身：它是什么、从哪里来、几个力同时作用时怎样合起来。就像学下棋，先认识每个棋子怎么走，再谈战术。

5.1力是什么初中

这就是初中物理对力的定义：力是物体对物体的作用。它不能离开物体单独存在，而且总是成对出现（这一点第 8 章会专门讲）。

力有两种看得见的效果：改变物体的形状（捏扁、拉长、压弯），以及改变物体的运动状态（让静止的动起来、让动的停下来、让运动转弯）。

描述一个力，要说清三件事，叫力的三要素：大小、方向、作用点。同样大小的力，推门把手附近和推门轴附近，效果完全不同。画图时，我们用一根带箭头的线段表示力：线段长短表示大小，箭头表示方向，起点表示作用点。

力的单位是牛顿（N），以牛顿的名字命名。1 牛有多大？大约是你手心托着两个鸡蛋时感到的压力。一个中学生的体重大约 500 牛。

5.2重力：地球的拉拽初中

松开手，东西就往下掉，因为地球在拉它。这个力叫重力。它的大小与物体的质量成正比：

你大概注意到了：这里的 g 和第 4 章的重力加速度是同一个数，只是单位写法不同（第 7 章会看到，N/kg 与 m/s² 其实是同一个单位）。这不是巧合，第 7 章会揭开其中的关系。

重力的方向总是竖直向下。建筑工人用铅垂线（一根挂着重物的线）检查墙是否砌直，就是利用了这一点。重力作用在物体的每一个部分，但计算时可以看成集中作用在一个点上，这个点叫重心。

5.3弹力：被压弯的东西要弹回来初中

拉长的橡皮筋想缩回去，压扁的弹簧想弹回去，被你坐着的椅子面也在微微下凹、想恢复原状。物体发生形变后，要恢复原状而对接触它的物体产生的力，叫弹力。

桌子托住书的支持力、绳子吊住灯的拉力，本质上都是弹力。桌面的形变小到肉眼看不见，但它确实存在：用激光照射桌面上的一面小镜子，再在桌上压一本厚书，墙上的光点会明显移动。

胡克定律高中

第 2 章出场的胡克，在 1676 年发表了一串奇怪的字母：ceiiinosssttuv。这是一个字谜，他先公布字谜，两年后才揭晓答案：ut tensio, sic vis，拉丁文“伸长多少，力就多大”。用今天的话说：

弹簧测力计就是按这个原理做的：力越大，弹簧伸得越长，指针在刻度上就走得越远，而且刻度是均匀的。

5.4摩擦力：又讨厌又离不开初中

两个互相接触的物体，要相对滑动或已经在相对滑动时，接触面上会产生阻碍这种相对运动的力，叫摩擦力。

• 静摩擦力：你推箱子没推动，是因为地面给了箱子一个大小相等、方向相反的静摩擦力。你推得越用力，它就跟着越大，直到一个上限（最大静摩擦力），箱子才开始滑动。
• 滑动摩擦力：箱子滑起来以后，摩擦力大小基本不变，与接触面之间的压力成正比：f = μN。μ 叫动摩擦因数（最大静摩擦力通常略大于滑动摩擦力，本书为简单起见近似取为 μN），由两个接触面的材料和粗糙程度决定。

符号小提示：书中斜体的 N 表示支持力这个“力”，正体的 N 表示单位“牛”。箱子压地面的压力，与地面托箱子的支持力大小相等（第 8 章会讲为什么），所以 f = μN 里的 N 用哪一个都行。

第 1 章我们说摩擦力“拖慢了一切运动”，让亚里士多德看错了规律。可是没有摩擦，你连路都走不了：脚向后蹬地，是地面给脚的静摩擦力把你推向前。冰面上撒沙子、轮胎和鞋底刻花纹，都是为了增大摩擦；机器里加润滑油、行李箱装轮子，则是为了减小摩擦。

注：μ 与表面状态、温度、速度都有关，表中只给量级，便于比较。

5.5力的合成：30 加 40 等于 50高中

当几个力同时作用在一个物体上，它们的总效果可以用一个力来代替，这个力叫合力。如果几个力在同一直线上，同向相加、反向相减。可是方向不同时呢？

答案是 50 牛，方向偏东北。力是矢量，不能像数字一样直接相加。牛顿在《原理》的运动定律之后，第一条推论就是这个规则：以两个力为邻边作平行四边形，对角线就是合力。30、40、50 恰好是直角三角形的三条边。

反过来，一个力也可以拆成两个分力，这叫力的分解。晾衣绳拉得越直，中间挂一件湿衣服时绳子受的拉力就越大，容易被拉断；所以晾衣绳总要留一点下垂。这和提水桶是同一个道理。

5.6平衡：合力为零初中

如果一个物体受到的所有力合起来等于零，就说它处于平衡状态。最简单的是二力平衡：两个力作用在同一个物体上，大小相等、方向相反、在同一条直线上。吊灯受到的重力和绳子拉力，就是一对平衡力。

斜面上的物块受三个力：重力、支持力、摩擦力。怎样判断它是否平衡？办法是把重力分解成两部分：沿斜面向下的分力和垂直压向斜面的分力。

初中阶段只需记住：坡越陡，重力沿坡往下“拽”的那部分越大，压向坡面的那部分越小；图中用 sin θ、cos θ 精确计算，是高中的内容。

斜面越陡，沿斜面的分力越大，同时压向斜面的分力越小（所以最大静摩擦力也越小）。陡到一定程度，摩擦力拉不住，物块就会滑下去。滑梯为什么有一个合适的坡度，山坡上的积雪为什么在陡处更容易发生雪崩，都是这个道理。

上一章留下的问题：几个力相互抵消时，物体可能静止，也可能在匀速运动。如果一个力也没有，物体会怎样？

这个问题，我们在第 1 章已经悄悄回答过一次：把冰球推过越来越光滑的表面，它滑得越来越远；推到极限，它会一直滑下去。可那只是一个大胆的猜想。这一章，我们看伽利略怎样把它变成可信的推理，笛卡尔怎样补上最后一块，牛顿又怎样把它刻成整座大厦的第一块基石。

6.1伽利略的双斜面初中

伽利略注意到一个现象：让小球从一个斜面滚下，再滚上对面的斜面，它几乎能回到原来的高度。斜面越光滑，就越接近原来的高度。于是他推断：如果完全没有摩擦，小球会恰好回到原来的高度。

这个实验没法真正做完，因为世界上没有无限长、完全光滑的水平面。但它的每一步推理，都有真实的实验支撑，只有最后一步是把趋势推到极限。这就是第 1 章说过的理想实验。

6.2笛卡尔补上“直线”，牛顿刻成定律高中

伽利略的“永远滚下去”，指的是沿着地面走。可地面是一个大球面，沿地面一直走，其实是在绕圈。伽利略心里的“自然运动”，多少还带着一点圆的影子。

笛卡尔在 1644 年把话说死了：不受干扰的物体，沿直线运动。任何转弯，都说明有东西在干扰它。牛顿把这两个人的思想合在一起，写成了《原理》中运动定律的第一条：

请仔细读“静止或匀速直线运动”这几个字。在牛顿看来，这两种状态没有本质区别，都是“运动状态没有改变”。静止只是速度恰好为零的匀速运动。这就推翻了亚里士多德最根本的假设：运动不需要原因，运动的改变才需要原因。

6.3惯性：物体“守旧”的脾气初中

物体保持原来运动状态的性质，叫惯性。所以第一定律也叫惯性定律。

惯性有大有小。推一辆空购物车，轻轻一推就动，一拉就停；推一辆装满饮料的购物车，起步费劲，想让它停下来也费劲。东西越“沉”，越难改变它的运动状态。牛顿在《原理》的定义里，指出这种“难改变程度”（他称为物体“固有的力”）与“物质的量”成正比，而“物质的量”就是今天的质量。质量是惯性大小的量度。

6.4生活里的惯性初中

一旦认识了惯性，你会发现它无处不在。

• 第一，急刹车时人往前倾。车在减速，你的身体还想保持原来的速度。安全带的作用，就是在这一刻给你一个向后的力。
• 第二，拍打衣服能除尘。衣服被拍得突然动起来，灰尘还想留在原处，于是和衣服分开了。
• 第三，锤头松了，往地上磕锤柄。锤柄撞地突然停下，锤头还在往下走，就套紧了。
• 第四，跳远要助跑。起跳前的速度，靠惯性带着你在空中继续向前。

6.5为什么推车一松手就停，旅行者 1 号却停不下来初中

现在可以回答序章里的伏笔 B 了。

反过来想，也正因为有第一定律，航天器才能“省油”：火箭只在需要改变速度时点火，其余时间关掉发动机滑行。从地球去火星的几个月里，探测器绝大部分时间都在滑行。

6.6第一定律在哪里成立：惯性参考系拓展

想象你坐在一辆正在加速的公交车上，车厢地板上有一颗玻璃珠。车一加速，玻璃珠就往后滚。在你看来，玻璃珠没受到任何向后的推力，却突然动起来了。第一定律失效了吗？

没有。站在路边的人看得很清楚：（设地板很光滑）玻璃珠几乎没有被带动，是车厢在它下面向前加速“溜走”了。问题出在你选的参考系：一个正在加速的车厢。

所以，第一定律其实也在告诉我们：存在一类参考系，在其中不受力的物体保持静止或匀速直线运动，这类参考系叫惯性参考系。静止或匀速直线运动的车厢是惯性参考系；正在加速、刹车或转弯的车厢则不是。地面近似是惯性参考系（地球自转和公转带来的误差，在日常问题里小到可以忽略）。本书后面谈到定律，默认都是在惯性参考系里。

上一章留下的问题：不受力，运动就不变。那么受了力，运动会怎样变、变多少？

第一定律只告诉我们“没有力会怎样”。它像一句否定句：没有力，运动就不变。可工程师要造汽车、发射火箭，需要的是一句肯定句，而且要带数字：用多大的力，能让多重的东西，在多长时间里变快多少？

这句带数字的话，就是第二定律。它可能是整个物理学里被写下次数最多的公式。

7.1从三个生活经验出发初中

先别看公式。用第一性原理，从你已经知道的事情出发：

• 第一，力越大，速度变得越快。轻推一下购物车，它慢慢加速；用力一推，它很快就冲出去。
• 第二，东西越重，速度越难变。用同样的力推空车和满车，空车加速快得多。
• 第三，往哪边推，就往哪边变快。从侧面推一辆正在前进的车，它会偏向侧面，而不是变快。

把这三条合成一句话：加速度与力成正比，与质量成反比，方向与力相同。

7.2牛顿的原话与今天的写法高中

牛顿原文里的“运动”，指的是他在定义中说的“运动的量”：质量乘以速度，也就是今天所说的动量（第 14 章的主角）。当质量不变时，“运动的改变”就是质量乘以速度的改变。把它写成我们熟悉的形式，是 18 世纪的数学家欧拉等人的工作：

这个公式也定义了力的单位：让 1 千克的物体产生 1 m/s² 加速度的力，就是 1 牛顿，即 1 N = 1 kg·m/s²。第 5 章留下的小谜题也解开了：N/kg 和 m/s² 本来就是同一个单位。

7.3质量与重量：不是一回事初中

日常说“我重 50 公斤”，把两个概念混在了一起。

航天员在月球上跳得很高，是因为重量变成了约六分之一；但如果一辆月球车迎面撞上来，你照样推不动它，因为它的质量（惯性）一点没变。

7.4锤子和羽毛为什么一样快高中

现在可以完整回答序章的伏笔 A 了。

这个“约掉”背后藏着一个深刻的巧合：决定重力大小的质量，和决定惯性大小的质量，是同一个数。牛顿注意到了这一点，并用不同材料做的单摆实验检验过。两百多年后，爱因斯坦把这个巧合当作出发点，建立了广义相对论。

那地球上的羽毛为什么慢

因为羽毛还受到空气阻力。速度越大，阻力越大。刚松手时速度为零、没有阻力，羽毛以 g 加速；速度一上来，阻力很快追上它那一点点重力，合力变成零，加速度变成零，它就以一个很小的速度匀速飘落。这个最终的速度叫终端速度。

7.5电梯里的体重秤：超重与失重高中

站在电梯里的体重秤上，你会看到读数在电梯启动和停下时跳动。秤显示的其实不是你的重力，而是秤对你的支持力 N。用第二定律（以向上为正）：

注意，“超重”和“失重”说的是秤的读数，不是重力本身变了。决定读数的是加速度的方向，而不是运动的方向：电梯向下运动、正在减速停下时，加速度向上，你也会感到“变重”。

过山车冲过小山包的顶端时，你会感到屁股离开座椅、心往上一提，那也是失重：此刻加速度向下（第 10 章会讲为什么）。

7.6解题的通用步骤高中

第二定律是解决力学问题的万能钥匙。无论题目多复杂，步骤都一样：

1. 选对象：想清楚研究哪一个物体（或几个物体组成的整体）。
2. 画受力图：把它受到的每一个力都画出来，一个不多、一个不少。每个力都要能说出“是谁施加的”。
3. 建坐标：通常让一根轴沿着加速度方向。
4. 列方程：每个方向上，合力 = 质量 × 该方向的加速度。
5. 解方程、检查：单位对不对？结果合不合常理？

例一：推箱子

用 100 牛的水平力推一只 20 千克的箱子，箱子与地面的动摩擦因数为 0.3。竖直方向：支持力 = 重力 = 20 × 9.8 = 196 牛。水平方向：摩擦力 f = 0.3 × 196 ≈ 58.8 牛，合力 = 100 − 58.8 = 41.2 牛，所以 a = 41.2 ÷ 20 ≈ 2.06 m/s²。

例二：连在一起的两辆小车

光滑桌面上，2 千克的小车 A 用细绳拉着 3 千克的小车 B，你用 10 牛拉 A。把 A、B 看成一个整体：a = 10 ÷ (2 + 3) = 2 m/s²。再单独看 B：让 B 以 2 m/s² 加速的只有绳子的拉力，所以绳子拉力 = 3 × 2 = 6 牛。先整体、再隔离，这是处理“连接体”问题的标准办法。

上一章留下的问题：我推墙，墙纹丝不动，可我的手却疼了。墙对我做了什么？

手疼，说明手受到了一个力。你推的是墙，谁在推你？只能是墙。第 5 章我们已经说过：力是物体对物体的作用，一个力必定有施力者和受力者。现在我们要追问得更深一步：当甲对乙施力的时候，乙对甲一定也施了力吗？这两个力有什么关系？

8.1牛顿的原话初中

牛顿在定律后面举的例子非常朴素：用手指按一块石头，手指也被石头按着；马用绳子拉一块石头，马也同样被石头往回拉。

这一对力叫作用力与反作用力，它们有四个特点：第一，大小相等；第二，方向相反；第三，作用在两个不同的物体上；第四，性质相同（弹力对弹力，摩擦力对摩擦力，引力对引力）。

8.2我们靠“推开别的东西”前进初中

第三定律回答了一个你可能从没想过的问题：你是怎么走路的？

你没法抓着自己的头发把自己提起来，同样也没法“自己推自己”往前走。走路时，你的脚向后蹬地面，地面就给你的脚一个向前的力（静摩擦力）。推你往前走的，是地面。

• 游泳：手和脚向后推水，水向前推人。
• 划船：桨向后推水，水向前推桨，桨带着船前进。
• 喷气式飞机：发动机把大量空气和燃气向后喷出，燃气向前推发动机。
• 火箭：把燃料燃烧后的高温燃气猛烈地向后喷出，燃气向前推火箭。

社论错在哪里？火箭不是靠“推空气”前进的，而是靠推自己喷出去的燃气。燃气就是它的“另一个物体”，在真空里照样存在。事实上，没有空气阻力，火箭在太空里工作得更好。

8.3马拉车悖论高中

悖论的根源，是把作用力与反作用力当成了一对“平衡力”。它们长得很像，都是等大、反向，但本质完全不同。

8.4相互作用力与平衡力初中

8.5拔河比的到底是什么初中

拔河时，甲队拉绳子的力和乙队拉绳子的力，通过同一根绳子传递，大小相等。那么输赢由什么决定？

分别看每一队：每队受到两个水平方向的力，一个是绳子的拉力，一个是地面给脚的摩擦力。谁的脚下能获得更大的摩擦力，谁就能站稳甚至后退，把对方拖过来。所以拔河的技巧是：体重大的人站好、穿防滑的鞋、身体后仰把脚蹬实。比的不是“拉力谁大”，而是“谁更能抓住地面”。

8.6你跳起来时，地球也在“跳”拓展

第三定律对引力同样成立：地球用 490 牛的力拉你，你也用 490 牛的力拉地球。那你跳起来的时候，地球会不会被你拉得动一下？

会，只是小到无法想象。用第二定律算：地球的质量约 6 × 10²⁴ 千克，它受到 490 牛的力，加速度约为 8 × 10⁻²³ m/s²。移动了多远？更简单的算法是：你和地球组成的整体，重心不会因为你们互相推拉而移动，所以你升高 0.3 米时，地球反向移动 0.3 × 50 ÷ (6 × 10²⁴) ≈ 2.5 × 10⁻²⁴ 米。一个质子的直径约 10⁻¹⁵ 米，所以地球移动的距离只有质子直径的十亿分之一左右。

力一样大，效果却天差地别，原因是质量相差太远。这就是第二定律与第三定律合在一起的威力：第三定律说力相等，第二定律告诉你各自的加速度是多少。

上一章留下的问题：到此为止，力都作用在一个“点”上。当力摊在一个面上、泡在水和空气里，会发生什么？

一块钢板扔进水里，“咚”地沉底；同样的钢材做成船，能载着几万吨货物漂洋过海。你光脚踩在一颗图钉上会疼得跳起来，一位表演者却能躺在上千根钉子铺成的“钉床”上安然无恙。

这两件怪事的答案，都藏在同一个问题里：当力不是作用在一个点上，而是摊开在一个面上时，会发生什么？这一章是初中力学的重头戏。它看上去和牛顿定律关系不大，其实是牛顿力学在“一大群粒子”身上的延伸：水和空气由无数分子组成，每个分子撞击器壁的力加在一起，就成了压强。

9.1压强：力摊在面上初中

衡量力的“集中程度”，就是压强：单位面积上受到的压力。

想增大压强，就减小面积：图钉尖、刀刃、针头、啄木鸟的喙。想减小压强，就增大面积：雪地靴和滑雪板、骆驼宽大的脚掌、坦克的履带、铁轨下铺的枕木。钉床的秘密也在这里：上千根钉子分担体重，每根钉子上的力只有一个小数；而踩单独一颗图钉时，全身体重都压在一个针尖上。

9.2液体压强：越深越大初中

潜水时，下得越深，耳朵越胀。为什么？用第一性原理想：深处的水，要托住它上面所有的水。

想象水里有一块面积为 S、深度为 h 的水平小薄片。它上面压着一根水柱，体积 Sh，质量 ρSh（ρ 是水的密度），重量 ρShg。把重量除以面积，就得到水本身在这里产生的压强：

这个公式有一个出人意料的推论：液体压强只与深度有关，与容器的粗细、形状无关。传说帕斯卡曾在一只装满水的木桶上插一根细长的管子，只往管里倒了几杯水，就因为水柱很高，把桶撑裂了。这个故事的细节未必可靠，但它讲的道理是对的。

液体压强在各个方向上都有：不仅向下压，也向上顶、向侧面推。水坝要修成下宽上窄，就是因为越往下，水对坝的侧压力越大。

上端开口、底部相连的容器叫连通器。连通器里装同一种液体、液体静止时，各部分液面总是一样高。茶壶嘴与壶身、锅炉的水位计，都是连通器。长江三峡的船闸，也是按连通器的原理，让船像坐电梯一样一级一级升降。

9.3大气压：我们住在空气的海底初中

我们头顶上压着一层厚达几十公里的空气。空气虽轻，但积少成多，海平面的大气压强约为 1.013 × 10⁵ Pa，相当于约 10 米高的水柱或 760 毫米高的水银柱。

它有多大？你摊开的手掌上，大约压着 1000 牛的空气压力，相当于 100 千克的东西。你之所以感觉不到，是因为手掌下面、身体里面也有同样大的压强顶回来，两边抵消了。

用吸管喝饮料时，你其实不是把饮料“吸”上来的。你只是把吸管里的空气吸走，让管内的气压变小；是杯子里液面上的大气压，把饮料推上了吸管。同样的道理，普通的抽水机最多只能把水“吸”上约 10 米高，因为大气压最多只能托起约 10 米高的水柱。伽利略时代，佛罗伦萨给水井装抽水泵的工匠就遇到了这个“10 米之谜”，后来托里拆利用水银柱实验解开了它。

9.4浮力：上下的压强差初中

把一块木头按进水里，一松手，它会被“顶”上来。这个向上的力叫浮力。它从哪里来？

用刚学的液体压强就能推出来。一个物体浸在水里，上表面浅，受到的向下的压力小；下表面深，受到的向上的压力大；左右两侧深度相同，压力互相抵消。上下一相减，剩下一个向上的净力，就是浮力。

这正是两千多年前阿基米德发现的规律：

流传最广的故事是：国王怀疑工匠在金王冠里掺了银，请阿基米德鉴定。他在浴缸里看到水溢出来，想到了测量王冠体积的办法，高兴得光着身子跑上街大喊“尤里卡（我找到了）”。这个故事出自两百年后的罗马作家维特鲁威，更像传说；但阿基米德在《论浮体》中写下的浮力原理，是确凿无疑的。

9.5沉还是浮：钢铁巨轮的秘密初中

物体沉还是浮，看两个力谁大：重力向下，浮力向上。完全浸没时，如果物体的平均密度大于液体，重力大于浮力，它就下沉；小于液体，它就上浮，直到露出一部分、浮力减小到恰好等于重力，漂浮在水面上。

关键是“平均密度”。把钢板做成空心的船体，一艘船占据的体积很大，里面大部分是空气，整条船的平均密度就比水小了。换个说法：船体能排开大量的水，排开的水的重量足以抵消整条船的重量。一艘满载的大型集装箱船，排开的水可达二十多万吨。

潜水艇则把这个原理用成了“开关”：往压载水舱里注水，平均密度变大，下潜；用压缩空气把水排出去，平均密度变小，上浮。鱼靠鱼鳔里气体的多少调节沉浮，热气球靠加热让球内空气变稀、整体比周围空气轻，都是同样的道理。死海的湖水含盐量很高、密度大，人躺在上面能自然漂浮，甚至可以看报纸。

上一章留下的问题：前面的运动都在一条直线上。扔出去的球、转弯的车、荡起的秋千走的是曲线——怎么办？

第一定律说：不受力的物体走直线。那么反过来，凡是走曲线的物体，一定受到了力，而且这个力不沿着运动方向，否则它只会变快变慢，不会拐弯。这一章要回答的，就是这个力怎样把直线“掰弯”。

这是通往万有引力的最后一级台阶。月亮绕着地球转，走的也是曲线。

10.1运动可以拆开来看高中

一条河宽 120 米，河水以 4 m/s 向东流。船相对于水的速度是 3 m/s，船头始终正对北岸。船实际往哪走？多久到对岸？

这就是运动的独立性：一个物体同时参与几个方向的运动时，每个方向上的运动各自进行，互不干扰。实际的运动是它们合成的结果：3 m/s 向北和 4 m/s 向东，合成为 5 m/s，方向北偏东约 53°，就像第 5 章里力的平行四边形一样。速度、位移、加速度都是矢量，都能这样合成与分解。

10.2平抛：一半匀速，一半自由落体高中

一颗小球从桌边水平滚出去，它走的弧线叫抛物线。现在把这条曲线拆成两个方向：

• 第一，水平方向：离开桌子以后，水平方向不受力（忽略空气阻力），按照第一定律，它保持离开时的水平速度，做匀速运动。
• 第二，竖直方向：只受重力，从竖直速度为零开始，做自由落体。

于是，平抛问题可以拆成两道你已经会做的题。落地时间只由高度决定：h = ½gt²，0.8 米高要 0.4 秒；水平距离 = 水平速度 × 时间 = 2 × 0.4 = 0.8 米。

同时落地。射出的子弹飞出几百米，但它竖直方向的运动和手里落下的那颗一模一样。这是伽利略在《两门新科学》里的洞见，也是本书封面上“牛顿大炮”的第一步：炮弹射得越快，只是落得越远，落下来的时间并不变——直到地球的弯曲开始起作用（第 12 章）。

10.3匀速圆周运动：匀速，却有加速度高中

摩天轮的座舱、表盘上的秒针尖、洗衣机甩干时的衣服，都在做圆周运动。如果转得很均匀，每秒走过的弧长一样，就叫匀速圆周运动。

可是“匀速”这个名字有点骗人。速度是矢量，有方向。圆周运动的速度大小不变，方向却时时刻刻在变：每一刻都沿着圆的切线。速度在变，就有加速度；有加速度，就一定有力。

第 1 章的第 A 题现在有了完整的解释：绳子断开时，拉着小球的力消失了，小球就按第一定律，沿断开那一刻的速度方向——切线——直线飞出。雨伞转起来，伞边的水滴也是沿切线飞出去的。

10.4向心加速度：v²/r 从哪里来高中

加速度指向哪里、有多大？我们用一张图把它推出来。

分三步看：

• 第一步：速度的方向转过的角度，等于半径转过的角度 Δθ（速度总是垂直于半径）。
• 第二步：两根长度都是 v 的箭头夹角为 Δθ，它们尖端之间的距离，在 Δθ 很小时近似等于一段小圆弧：Δv ≈ v·Δθ。
• 第三步：物体走过的弧长是 r·Δθ，用时 Δt = rΔθ / v。

于是加速度 = Δv / Δt = vΔθ ÷ (rΔθ / v)，Δθ 约掉：

第三步里“Δθ 很小时近似”的那个“近似”，当 Δθ 无限缩小时会变成精确相等。这正是牛顿在《原理》里反复使用的“最初比与最终比”方法，下一章会专门讲。惠更斯在 1673 年发表过同样的结果；牛顿在 1660 年代的笔记里也独立推出过它。

10.5荡秋千：最低点绳子最紧高中

荡秋千时，秋千在最低点速度最快。此刻你受到两个力：绳子（或链条）向上的拉力 T，重力 mg 向下。你在沿圆弧运动，圆心在头顶的横梁上，所以合力要向上，提供向心力：

一个 30 千克的孩子，秋千绳长 2.5 米，最低点速度 4 m/s：T = 30 × (9.8 + 16/2.5) ≈ 486 牛，约是他体重的 1.65 倍。这就是为什么在最低点你会感到自己被“压”在座板上，也是为什么秋千绳最容易在这时断——设计秋千时，绳子的承受力要按最低点而不是按静止时的体重来算。

10.6过山车回环：头朝下为什么掉不下来高中

在回环的最高点，车厢头朝下，轨道在车厢“上面”（外侧）。车厢受两个力：重力 mg 向下，轨道对车的压力 N 也向下——都指向圆心。它们合起来提供向心力：N + mg = mv²/R。

车越慢，需要的向心力 mv²/R 越小，轨道压力 N 就越小。慢到 N = 0 时，重力单独就恰好提供了向心力：

10.7转弯与“离心”高中

汽车在平路上转弯，谁提供向心力？只能是地面给轮胎的静摩擦力。静摩擦力有上限（约 μmg，这里的 μ 指轮胎与路面之间的最大静摩擦因数），所以转弯的速度也有上限：μmg = mv²/r，得 v最大 = √(μgr)。半径 50 米的弯道，干燥路面（μ ≈ 0.7）约 18.5 m/s（约 67 km/h）；湿滑路面（μ ≈ 0.4）只有约 14 m/s（约 50 km/h）。雨天转弯要减速，道理在此。

高速公路的弯道、赛车场和铁路弯道，路面都修成外高内低的斜坡，让支持力也倾斜，帮摩擦力分担一部分向心力。

洗衣机甩干时，转筒飞快旋转，衣服被筒壁推着做圆周运动；水滴只受到很小的附着力，这点力不够提供那么大的向心力，于是水滴从小孔沿切线飞出去。这种现象叫离心现象。注意：水滴不是被一个“离心力”甩出去的，而是因为拉住它转圈的力不够，它就按惯性走了直线。

上一章留下的问题：牛顿手里已经有了三大定律和向心力。他怎样用数学，从行星的轨道里读出引力的样子？

《自然哲学的数学原理》以难读著称。它满是几何图形，图上标着 A、B、C、S、P、Q 这样的字母，一个命题接一个命题，很少有一句解释。据牛顿的朋友德勒姆回忆，牛顿说过，他是故意把书写得艰深，免得被一知半解的人纠缠。

可是，书里最核心的几个想法，用今天的语言说出来，一个中学生完全能懂。这一章就做这件事：打开《原理》，挑出三个关键的数学工具，用你已经学过的积木把它们重新搭一遍。

11.1牛顿为什么用几何写拓展

牛顿在二十出头时就发明了“流数术”，也就是后来的微积分。那他为什么不用微积分写《原理》？

一个重要原因是读者。17 世纪的学者从小学的是欧几里得几何，那是当时公认最严密、最可信的数学。微积分还是一门新学问，牛顿自己也没有正式发表过。要让同时代的人相信一个推翻旧观念的结论，就得用他们最信得过的语言。

但如果你仔细读，就会发现几何外衣下面，处处是微积分的思想：把曲线切成无数小段，每一段当成直线；把连续的力切成无数次小小的推动，再让间隔趋于零。这种思想，牛顿称为“最初比与最终比”。

11.2第一件工具：最初比与最终比高中

《原理》第一卷的第一章，是 11 条引理，全在讲一件事：当两个量无限接近时，怎样严格地说它们“最终相等”。第一条引理大意是：

第七条引理把它用在曲线上：当一段圆弧越来越短时，弧长、弦长、切线长的最终比是 1 : 1 : 1。也就是说，曲线的一小段，最终可以当成直线。

你在第 3 章求瞬时速度、第 4 章用细条求面积、第 10 章推 v²/r 时，已经用过这件工具三次了。

11.3第二件工具：用三角形证明面积定律高中

开普勒发现，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。他是从观测数据里总结出来的；他给过的解释（太阳像推磨一样推着行星转）是错的。牛顿在《原理》第一卷的命题 1里给出了证明，只用到前两条运动定律（惯性，以及速度的变化沿着力的方向）和三角形面积公式。这是整本书里最漂亮、也最容易懂的证明之一。

跟着图一步一步走：

1. 第一段时间，物体不受力，沿直线从 A 匀速走到 B。
2. 如果它继续不受力，第二段相同的时间里会走到 c，而且 Bc = AB（第一定律：匀速直线）。三角形 SAB 和 SBc 的底一样长（AB = Bc），高也一样（都是 S 到这条直线的距离），所以面积相等。
3. 可是在 B 点，物体受到一次指向 S 的推动。按第二定律，它获得一个指向 S 的速度变化，于是实际走到了 C。从 c 到 C 的偏移方向和推动方向一致，所以 cC 平行于 SB。
4. 三角形 SBc 和 SBC 有共同的底 SB；因为 cC ∥ SB，c 和 C 到 SB 的距离相同，所以两个三角形的高也相同，面积相等。
5. 于是 SAB = SBc = SBC：相等时间里扫过的面积相等。

最后一步，用上最终比：让推动越来越频繁、间隔越来越短，折线 ABC… 就越来越接近一条光滑的曲线，一次次推动就变成了连续的力。结论始终成立。

这就是面积定律的真正意义：它告诉我们，拉住行星的力指向太阳。牛顿在命题 2 里证明了这个反方向的结论。关于力的“方向”，问题解决了。接下来是力的“大小”。

11.4第三件工具：从周期读出平方反比高中

《原理》第一卷命题 4 讨论匀速圆周运动，结论就是第 10 章的向心加速度 a = v²/r。它的第 6 条推论说：如果几个物体绕同一个中心转圈，而周期的平方与半径的立方成正比，那么向心力与半径的平方成反比。用今天的代数，三行就能推出来。

第一行，绕一圈走 2πr，用时 T，所以 v = 2πr / T。

第二行，代入向心加速度：a = v²/r = 4π²r / T²。

第三行，开普勒第三定律说 T² = k r³（k 对所有行星都一样），代入：

请注意这个推理的方向：不是先假设一个力、再去算轨道，而是从观测到的轨道规律，反推出力必须满足的规律。开普勒的定律在说“力”的事：第二定律说它的方向（指向太阳），第三定律说它的大小（与距离平方成反比），第一定律（椭圆）则留下了下面这个问题。牛顿在书中写道，这个平方反比的推论，雷恩、胡克和哈雷也都各自注意到了。

11.5把《原理》翻译成今天的语言拓展

表里第四行值得多看一眼。牛顿证明面积定律时，把连续的力“切”成一次次推动。三百年后，计算机模拟卫星轨道、预报天气、设计过山车，用的是同一个思路：每过一小段时间，用 F = ma 更新一次速度，再用速度更新一次位置，一步一步往前算。本书封面上的牛顿大炮，就是用这个办法每 2 秒算一步画出来的。

上一章留下的问题：数学告诉牛顿：拉住行星的力与距离的平方成反比。这个力，和让苹果落地的是同一个吗？

在牛顿之前，天和地是两个世界。亚里士多德说，地上的东西由土、水、气、火组成，会变化、会腐朽，自然运动是直上直下；天上的星体由完美的“以太”组成，永恒不变，自然运动是转圈。两个世界，两套规律。

这一章，我们看牛顿怎样用一次简单的计算，把天和地缝在了一起。

12.1那只苹果初中

这段对话记录在斯图克利 1752 年写成的《牛顿爵士生平回忆》里（这份手稿直到 1936 年才正式出版）。请注意：苹果并没有砸到牛顿的头，那是后来的演绎。真正重要的也不是苹果，而是那个问题：地球的拉力能延伸多远？能不能一直延伸到月亮？

12.2月球检验：月亮每秒下落多少高中

第 10 章的最后，我们猜测：月亮之所以绕着地球转，是因为地球的重力一直在把它往里拉，它一直在“下落”，只是向前跑得够快，永远落不到地面。

这个猜想可以检验。思路分两步：先从月亮的轨道算出它实际需要的向心加速度；再看地球的重力传到月亮那么远，按平方反比会减弱成多大。如果两个数几乎相等，猜想就对了。

第一步，从轨道算。月地距离约 3.84 亿米（约 60 个地球半径），月亮绕地球一圈（相对恒星）约 27.3 天，即约 236 万秒。用上一章的公式：

一秒钟里落下的距离 = ½at² ≈ 0.00136 米，也就是约 1.36 毫米。

第二步，从重力算。地面上的重力加速度是 9.8 m/s²。如果重力与距离的平方成反比，那么在 60 倍距离处，它要减弱到 1/60² = 1/3600：

两个数几乎相等。（按今天更精确的月地距离 60.3 个地球半径算，两者相差约 1%，在当时的测量精度内完全可以接受。）

还要说清楚一件事：这 1.36 毫米，是相对于这一秒开始时月亮运动方向那条切线量出来的。如果一直沿着最初那条切线量，偏离的距离会像自由落体一样按时间的平方增长：60 秒后是 60² = 3600 倍，约 4.9 米。

牛顿在《原理》第三卷命题 4 里就是这样写的：月亮在一分钟里朝地球落下约 15 巴黎尺（约 4.9 米），而地面附近的重物在一秒钟里落下的也是约 15 巴黎尺。月亮一分钟落下的距离，等于苹果一秒钟落下的距离，而月亮远了 60 倍，时间差了 60 倍，距离差了 60² 倍——一切严丝合缝。

让苹果落地的力，和让月亮绕地球转的力，是同一个力。

现在你明白书名的意思了：月亮也在下落。它每一秒都偏离直线、朝地球落下约 1.36 毫米，只是在同一秒里，它向前飞了约 1 公里；而以地心为圆心、穿过月亮的那个大圆，在前方 1 公里处恰好也弯下去约 1.36 毫米。它落下多少，圆就弯下去多少。于是它一边下落，一边永远落不到地面。

12.3万有引力定律高中

牛顿没有停在地球和月亮。既然太阳拉行星、地球拉月亮、地球拉苹果都是同一种力，那么，任何两个有质量的物体之间，都应该互相吸引：

这个公式的每一部分都有来历：

• 与 r² 成反比：来自开普勒第三定律（第 11 章）和月球检验。
• 与被吸引物体的质量 m₂ 成正比：因为一切物体下落的加速度相同（第 7 章），力必须与质量成正比，才能让 a = F/m 与质量无关。
• 与施力物体的质量 m₁ 也成正比：因为第三定律，甲拉乙的力等于乙拉甲的力，公式对两个物体必须是对称的。

你和同桌之间也有引力。两个 60 千克的人相距 1 米，引力约为 2.4 × 10⁻⁷ 牛，大约相当于一粒细沙（约 0.02 毫克）受到的重力。引力在日常尺度上弱得可怜，只有当一方是一整颗星球时，它才显出威力。

12.4卡文迪许：在实验室里称地球高中

牛顿写下了万有引力定律，却不知道 G 的数值。因为日常物体之间的引力太弱，测不出来。

一百多年后的 1798 年，英国科学家卡文迪许用一台灵敏度极高的“扭秤”做到了：一根细丝吊着一根横杆，杆两端各有一个小铅球；把两个大铅球靠近小球，引力让横杆转过一个极小的角度，细丝扭转的程度就能换算出引力的大小。为了不让体温和气流干扰，他把仪器关在密室里，从墙外用望远镜读数。

卡文迪许本人报告的是地球的密度；后来的物理学家用他的数据算出了 G。有了 G，就能“称”地球了。地面上 mg = GMm/R²，所以地球质量：

卡文迪许报告的结果是：地球的平均密度约为水的 5.5 倍。这比地表岩石的密度（约 2.5 到 3 倍）大得多，说明地球深处一定藏着更重的东西——今天我们知道，那是以铁为主的地核。一根细丝，一间密室，让人类第一次在实验室里较准确地“称”出了脚下这颗星球（此前的 1774 年，天文学家马斯基林曾借苏格兰一座山对铅垂线的引力做过粗估）。

12.5牛顿大炮与宇宙速度高中

在牛顿身后出版的《宇宙体系》里，有一张著名的图：在高山顶上架一门大炮，水平发射炮弹。速度越大，炮弹落得越远；速度大到一定程度，炮弹落下的弧线恰好跟上地面弯曲的弧线，它就绕着地球一圈一圈转下去，再也不落地。本书的封面，就是这张图的可交互版本。

“恰好绕地球转”需要多快？此时重力恰好提供向心力。贴着地面飞行时，mg = mv²/R：

12.6潮汐：引力的“差”拓展

海边的人每天会看到两次涨潮、两次落潮。牛顿在《原理》第三卷里用万有引力解释了它。

月亮拉地球的每一部分，但拉力随距离减弱：离月亮近的那侧海水被拉得最强，地心居中，远侧的海水最弱。相对于地心，近侧海水被拉得“往月亮那边跑”，远侧海水则被“落在后面”。结果地球两侧各鼓起一个水包。地球自转一圈（加上月亮自己也在走，约 24 小时 50 分钟），一个地方会经过两个水包，于是每天涨潮两次。

12.7预言的胜利拓展

序章说，一个理论值得信任，是因为它给出本来可能失败的精确预言。牛顿的引力理论，经受了一次比一次更严苛的考验。

• 地球是扁的。牛顿推算，地球自转会让它在赤道处鼓出、两极略扁。当时法国有学者持相反看法。1736—1737 年，法国科学院派远征队到北极圈附近的拉普兰测量子午线，证实了牛顿是对的。
• 彗星会回来。哈雷用牛顿的理论计算了几颗历史上的彗星，发现 1531、1607、1682 年出现的其实是同一颗，预言它将在 1758 年前后回归。哈雷于 1742 年去世，没能看到。1758 年圣诞夜，它准时出现在天空中，从此被称为哈雷彗星。
• 算出一颗看不见的行星。天王星的实际位置总与计算有微小偏差。1846 年，法国天文学家勒威耶假设外面还有一颗未知行星在拉它，用牛顿力学算出了它应在的位置。柏林天文台的伽勒收到信的当晚，就在离预言位置不到 1 度的地方找到了它——海王星。它被称为“笔尖上发现的行星”。

上一章留下的问题：用 F = ma 一刻一刻追踪运动，太累了。有没有不追踪过程、直接算出结果的办法？

一辆过山车从 40 米高的起点滑下，经过一连串起伏的轨道。它在最低点有多快？

用 F = ma 硬算，你需要知道轨道每一处的坡度，重力沿轨道的分力时时在变，加速度时时在变，只能像第 11 章说的那样，切成无数小段一步步算。可是，工程师设计过山车时，第一步往往只用一行算式就能得到答案。

秘诀是：不追踪过程，只看“账本”。这一章要建立的，是物理学里最重要的一本账：能量。

13.1功：力在路程上的“付出”初中

物理学里的“做功”，和日常说的“干活”不太一样。

物理学说：力对物体做功，要求物体在力的方向上移动了一段距离。

提着水桶平走，手的力与移动方向垂直，不做功（你累，是因为肌肉在持续收缩消耗化学能，那是另一本账）。推墙推得满头大汗，墙没动，也不做功。

13.2杠杆与滑轮：省力不省功初中

相传阿基米德说过：“给我一个支点，我就能撬动地球。”杠杆确实能以小力胜大力，但天下没有免费的午餐。

杠杆平衡的条件是 F₁L₁ = F₂L₂。力臂长 3 倍，力就省到 1/3；可转同样的角度，长臂那头要走 3 倍的距离。滑轮组也一样：用 4 段绳子吊起重物，拉力只要重物的 1/4，但你要拉动 4 倍长的绳子。

这就是功的原理：使用任何机械都不省功。机械能帮你换的，只是“力”和“距离”的比例：省力就费距离，省距离就费力（比如划船的桨、钓鱼竿、筷子，都是费力杠杆，换来的是手动一点、另一端动很多）。

现实中的机械还有摩擦，总要多做一些功。有用的功占总功的比例，叫机械效率，它总是小于 100%。

13.3功率：做功有多快初中

同样把一箱书搬上三楼，一个人用 1 分钟，另一个人用 5 分钟，做的功一样多，但快慢不同。衡量做功快慢的量叫功率：P = W/t，单位瓦特（W），1 W = 1 J/s。

一个 50 千克的中学生，3 秒跑上一层楼（约 3 米），克服重力做功 50 × 9.8 × 3 ≈ 1470 焦，功率约 490 瓦，约是一台常见电吹风（约 1000 瓦）的一半。汽车广告里的“马力”也是功率单位，1 马力约 735 瓦。

13.4动能：从 F = ma 推出 ½mv²高中

现在，把功和牛顿定律连起来。一个质量为 m 的物体，在恒定的合力 F 作用下走过距离 s，速度从 v₀ 变成 v。第 4 章的公式说 v² − v₀² = 2as，第 7 章说 a = F/m。代进去：

这一行推导很短，意义却很大：动能不是新发明的东西，它是 F = ma 换了一种写法。它把“力 × 时间里的一连串变化”压缩成了“力 × 距离 = 某个量的变化”。

动能与速度的平方成正比。还记得第 4 章的刹车距离吗？刹车时摩擦力做负功，把动能全部“扣掉”：f · s = ½mv²。速度翻倍，动能变成 4 倍，刹车距离也就变成 4 倍。两个章节，同一个道理。

13.5势能：高处“存着”的能量初中

把一个物体举高 h，你克服重力做了 mgh 的功。这份功去哪了？它没有消失，而是“存”在了高度里。一松手，重力做功，又把它原封不动地变成动能。这份存着的能量叫重力势能：Ep = mgh。

重力做功有一个奇妙的性质：只与起点和终点的高度差有关，与走哪条路无关。沿陡坡直接滑下，或者沿弯弯曲曲的山路绕下来，只要高度差一样，重力做的功就一样。被拉长或压缩的弹簧也存着能量，叫弹性势能，蹦床、弓箭、弹弓都在利用它。

13.6机械能守恒：过山车的账本高中

把动能和势能合在一起，叫机械能。如果只有重力（或弹力）做功，没有摩擦和空气阻力，那么动能增加多少，势能就减少多少：

回到开头的问题。过山车从 40 米高处静止出发，滑到 2 米高的谷底，速度是多少？不管中间轨道怎么弯：v = √(2gΔh) = √(2 × 9.8 × 38) ≈ 27 m/s，约 98 km/h。一行算式，不需要知道任何坡度。

13.7秋千：势能与动能的来回交换初中

秋千的两端比最低点高 0.8 米，最低点的速度就是 √(2 × 9.8 × 0.8) ≈ 4 m/s。第 10 章我们算秋千绳的拉力时，用的正是这个速度。

秋千为什么越荡越低？因为空气阻力和绳子与横梁之间的摩擦，一点点把机械能变成了热。要让秋千越荡越高，你得不断“补能”：在最高点蹲下、在最低点附近站起，你的腿在做功，把肌肉里的化学能存进秋千的机械能账户。

13.8账本永远不会错：能量守恒初中

有摩擦时，机械能会减少。它消失了吗？19 世纪，英国物理学家焦耳用精巧的实验证明：摩擦“吃掉”的机械能，全部变成了热。算上热、声、光、电、化学能，能量的总量永远不变，只会从一种形式转化为另一种形式。这就是能量守恒定律，是整个物理学最坚固的定律之一。

所以，靠链条拉上第一个坡的过山车，第一个坡总是最高的：后面每一个坡都要比前一个矮一点，因为账本在一路“交税”给摩擦。

13.9用能量算第二宇宙速度拓展

第 12 章留下的 11.2 km/s，也能用账本算出来。离地球越远，引力越弱；把一个物体从地面送到无穷远，引力做的总功（负功）是 GMm/R。（引力随距离变化，这个结果要像第 11 章那样把路程切成小段、逐段相加才能算出，这里先接受它。）要一去不回，发射时的动能至少要付得起这笔账：

第二宇宙速度恰好是第一宇宙速度的 √2 倍。封面上的牛顿大炮在 400 千米高处发射，那里引力稍弱，所需的逃逸速度约 10.9 km/s。

上一章留下的问题：能量这本账在碰撞时会“漏”：两球一撞，一部分能量变成了热和声音。碰撞时，有什么是一点都不漏的？

两团橡皮泥迎面相撞，粘成一团，几乎停住了。碰撞前它们都在飞，有动能；碰撞后几乎不动，动能大半变成了热。能量账本在这里“漏”得厉害，它依然守恒，只是大部分流进了我们很难追踪的热里。

那么，碰撞里有没有一本一分不漏、而且只看运动就能算清楚的账？有。这本账比能量更早被写进物理学：牛顿在《原理》的第二条定义里就写下了它。

14.1牛顿的“运动的量”高中

《原理》的定义 II 说：“运动的量，是由速度和物质的量共同度量的。”用今天的话，就是动量：

一辆慢慢倒车的大卡车和一颗飞行的子弹，谁更难“拦住”？卡车 10 吨、速度 1 m/s，动量 10000 kg·m/s；子弹 10 克、速度 800 m/s，动量只有 8 kg·m/s。动量衡量的，正是“要让它停下来有多难”。

笛卡尔更早提出过“运动的量”，但他用的是速度的大小，没有考虑方向，因此他推出的碰撞规律大多是错的。1668 年前后，沃利斯、雷恩和惠更斯研究碰撞时已经把方向考虑了进去；牛顿把它写进定义与定律，推广到一切相互作用。方向至关重要：两个动量方向相反时，可以互相抵消。

14.2冲量与动量定理：鸡蛋为什么摔不碎高中

还记得第 7 章的第二定律原文吗？“运动的改变与所加的动力成正比。”牛顿说的“运动”就是动量。把 F = ma 里的加速度写成 Δv/Δt，两边乘以 Δt：

这个公式藏着一个保命的道理：同样的动量变化，时间拉得越长，力就越小。

• 接球时手往回收：把球停下来的时间拉长，手就不疼。
• 跳远落进沙坑、跳高落在厚垫子上、从高处跳下要屈膝：都是在延长减速的时间。
• 汽车的安全气囊和溃缩区：碰撞时，车头被设计成可以一节一节压扁，气囊在几十毫秒内充满，都是为了把人减速的时间从“一瞬间”拉长一些，冲击力就成倍下降。

14.3从第三定律推出动量守恒高中

两个物体 A 和 B 相撞。碰撞过程中：

1. 第三定律：A 推 B 的力与 B 推 A 的力，大小相等、方向相反，而且同时存在、同时消失，作用时间 Δt 完全相同。
2. 动量定理：B 的动量变化 = FΔt；A 的动量变化 = −FΔt。
3. 两者相加：ΔpA + ΔpB = 0。

这正是牛顿在《原理》第三条定律后面的推论。一个物体得到多少动量，另一个就失去多少；动量只在物体之间“转账”，总额永远不变。无论碰撞多么激烈、变形多么厉害、发出多少热和声音，只要算上碰撞双方，动量守恒都一分不差。

开枪时枪托会撞肩膀（后坐），也是同样的道理：一颗 10 克的子弹以 800 m/s 射出，带走 8 kg·m/s 的动量；一支 4 千克的步枪就要以 2 m/s 向后冲。火箭是把这件事连续地做：每秒向后喷出大量燃气，燃气带走向后的动量，火箭就获得同样大小向前的动量。第 8 章从“力”的角度讲过火箭，这里是同一件事的“账本”版本。

14.4三种碰撞高中

碰撞中动量一定守恒，但动能不一定。按照动能损失多少，碰撞分为三类。

14.5牛顿摆的秘密高中

现在，回到序章的伏笔 E。桌上的“牛顿摆”由五颗一模一样的钢球并排吊着。拉起一颗放手，它撞上一排球，另一端恰好弹出一颗，速度和撞过来的那颗几乎一样；拉起两颗，另一端就弹出两颗。

“牛顿摆”这个名字是 20 世纪才有的，1960 年代它作为办公桌玩具流行起来。不过它和牛顿确实有渊源：在《原理》三条定律后面的附注里，牛顿描述了他自己做的实验，用两个长约 10 英尺（约 3 米）的摆，让摆球互相碰撞，仔细扣除空气阻力的影响，验证碰撞前后“运动的量”守恒，以此支持第三定律。比他更早，雷恩、沃利斯、惠更斯和马略特也都用摆球研究过碰撞。第 2 章说第三定律站在他们的肩上，指的就是这些实验。

上一章留下的问题：牛顿摆的球来回摆，秋千也来回荡。这种“来回”有什么共同的规律？

秋千、钟摆、弹簧上的小球、琴弦、心跳、高楼在风中的轻微摇晃……世界上到处都是“来回”的运动，物理学叫它振动。它们看上去千差万别，却遵守同一条简单的规律。这一章是本书最后一块积木，它把前面几乎所有的东西都用上了：F = ma、圆周运动、能量守恒，还有让锤子和羽毛一起落地的那个“质量约掉”。

15.1回复力：越偏越被拉回高中

一个挂在弹簧下的小球，静止时停在平衡位置。把它往下拉一点，弹簧把它往上拉；往上推一点，弹簧（和重力）把它往下拉。离开平衡位置越远，被拉回来的力越大，方向总是指向平衡位置。

第 5 章的胡克定律正好描述了这种力：

回复力与位移成正比、方向相反的振动，叫简谐运动。它是最简单、也最重要的振动。

“冲过头”就是振动的本质：回复力负责拉回来，惯性负责冲过去。两者缺一不可。没有回复力，物体一去不返；没有惯性（质量），它回到平衡位置就会立刻停下。

15.2简谐运动是圆周运动的影子高中

这里有一个非常漂亮的联系。让一个点沿着圆周匀速转动，从侧面用平行光照过去，它投在墙上的影子会在一条直线上来回运动。

为什么影子恰好是简谐运动？第 10 章说过，匀速圆周运动的加速度指向圆心，大小是 v²/r，也可以换一种写法。角度用“弧度”来量：转一整圈是 2π 弧度。每秒转过的弧度数叫角速度 ω，于是速度 v = ωr，加速度 v²/r = ω²r，转一圈的时间 T = 2π/ω。这个指向圆心的加速度，投影到水平方向上，恰好是 −ω²x：与影子离中心的距离成正比，方向指向中心。这正是回复力的样子。

对弹簧振子，F = −kx，所以加速度 a = −(k/m)x。和影子的 −ω²x 一对照，ω² = k/m。影子来回一次的时间，就是圆周转一圈的时间：

周期与振幅无关，这一点很神奇：拉开 1 厘米和拉开 5 厘米，来回一次的时间一模一样。拉得远，回复力也大，跑得更快，两者正好抵消。

15.3单摆：伽利略的吊灯高中

据伽利略的学生维维亚尼记述，年轻的伽利略在比萨大教堂里看到一盏吊灯在风中摆动，他用自己的脉搏计时，发现无论摆幅大小，来回一次的时间似乎都一样。（这个故事的细节有争议，但伽利略确实在后来的研究中系统地研究过单摆。）

用本书的积木，可以推出单摆的规律。摆球偏离最低点一个小角度时，把重力分解（第 5 章）：沿绳子方向的分力被绳子拉力平衡，沿圆弧切线方向的分力 mg sin θ 把它往回拉。角度很小时，sin θ ≈ x/L（这又是第 11 章“弧与弦最终相等”），于是回复力约为 −(mg/L)x。

加速度 = 回复力 ÷ 质量 = −(g/L)x。质量又一次被约掉了，就像第 7 章锤子与羽毛。于是：

15.4荡秋千：大人小孩一个节奏初中

秋千就是一个大单摆。一个 2.5 米长的秋千，来回一次约 3.2 秒。有趣的是，大人坐上去和小孩坐上去，节奏几乎一样，因为周期与质量无关（大人坐着时重心位置稍有不同，会带来一点点差别）。要改变秋千的节奏，只能改变绳长。

你也可以反过来用它：在任何地方挂一根线、吊一个重物，量出摆长、数出周期，就能用 g = 4π²L/T² 测出当地的重力加速度。1672 年，法国天文学家里歇在南美洲赤道附近的卡宴发现，他从巴黎带去的摆钟每天慢了约两分半钟，必须把摆缩短一点才能走准。这说明赤道处的 g 更小。牛顿在《原理》里用这个观测支持了他的结论：地球在赤道处鼓起，是扁的（第 12 章）。赤道处 g 偏小，一部分来自地球自转，一部分来自赤道鼓起、离地心更远。

15.5共振：推秋千的节奏高中

推过秋千的人都知道：要推得高，不在于用多大的力，而在于节奏对不对。每次秋千荡回到你面前、刚要往前走时轻轻一推，秋千就越荡越高；如果乱推，时而帮它、时而挡它，它反而荡不起来。

当外力推动的节奏与物体自己振动的节奏（固有频率）相同时，振幅会越来越大，这叫共振。

• 危险的一面：1831 年，英国曼彻斯特附近的布劳顿吊桥在一队士兵齐步走过时垮塌；此后许多国家的军队规定过桥时要便步走。2000 年，伦敦千禧桥开放当天，行人不自觉地随桥的晃动调整步伐，让桥晃得更厉害，只好关闭近两年、加装阻尼器。
• 有用的一面：收音机选台，是让电路的振荡与某个电台的电磁波“对上节奏”；吉他、小提琴的共鸣箱，是让箱体与琴弦的振动“对上节奏”。台北 101 大楼的高处挂着一个约 660 吨的巨大钢球（调谐质量阻尼器），它的摆动节奏被调得与大楼接近，大风来时反向摆动，吸收大楼的振动。

15.6钟摆与时间拓展

单摆“周期不变”的性质，让它成了最早的精确计时器。1656 年，惠更斯发明了摆钟，把钟表的误差从每天十几分钟降到了每天十几秒。此后近三百年，从天文台到家里的座钟，人类的时间都由一根来回摆动的摆锤来计量。

1851 年，法国物理学家傅科在巴黎先贤祠挂起一个 67 米长的摆，周期约 16 秒。几个小时里，观众看到摆动的方向在地面上缓缓转动——那不是摆在转，是摆下面的地球在转。一根摆，既计量了时间，也证明了地球在自转。

上一章留下的问题：从苹果到月亮、从秋千到火箭，牛顿力学几乎无所不能。它有边界吗？

我们从月球上的一把锤子和一根羽毛出发，走过了十六级台阶。现在站在最高处，回头看看这条路，也往前看看路的尽头在哪里。

16.1三百年的遗产初中

1687 年之后，牛顿力学成了工程师手里最可靠的工具。桥梁和高楼的受力计算、汽车的刹车与安全气囊、过山车的轨道、火箭的发射窗口、卫星的轨道、嫦娥探测器的奔月路线，底层都是这几条定律。序章那句话，现在你可以完整地读懂了：阿波罗宇航员“回家的旅程，关键地依赖于正在被检验的这一理论”。回家的轨道，就是牛顿大炮那张图的放大版。

牛顿本人对这份遗产看得很淡。据他的同时代人斯彭斯记述，牛顿晚年说过：“我不知道世人怎样看我；但在我自己看来，我不过像一个在海边玩耍的孩子，时而为找到一块比寻常更光滑的卵石、更美丽的贝壳而欣喜，而展现在我面前的，是全然未被发现的真理的大海。”

16.2边界：太快、太小、太强拓展

“真理的大海”确实还在前面。19 世纪末到 20 世纪初，物理学家发现，在三种极端情况下，牛顿力学的预言与实验不符。

• 第一，太快：速度接近光速（每秒 30 万公里）时，时间会变慢、质量与能量可以互相转化，需要爱因斯坦 1905 年的狭义相对论。
• 第二，太小：在原子和更小的尺度上，粒子没有确定的轨道，需要 1920 年代建立的量子力学。
• 第三，太强：引力极强（例如黑洞附近），或要求极高的精度时，需要爱因斯坦 1915 年的广义相对论。第 12 章提到的水星轨道每世纪约 43 角秒的偏差，就是被广义相对论解释的。今天手机里的卫星导航，也必须修正相对论效应：卫星上的时钟每天要比地面快约 38 微秒，不修正的话，定位误差一天就会累积到十几公里。

注：修正量按 v²/(2c²) 估算，只表示量级。

16.3回头看这条台阶初中

现在，请你试着不看书，把三句口号说出来，并各举一个例子：

第一句，你可以用旅行者 1 号、公交车急刹、锤子和羽毛来讲；第二句，可以用走路、火箭、牛顿摆来讲；第三句，可以用月亮每秒落下 1.36 毫米、空间站里飘着的航天员来讲。能讲出来，这本书就真正变成了你的。

16.4为什么今天还要学牛顿初中

你将来也许不会再解一道斜面题。但牛顿力学留给你的，是几种可以用在任何地方的思考习惯：

• 第一，拆掉干扰，找本来的规律。亚里士多德看到的现象没错，错在把摩擦当成了本性。遇到任何问题，都可以先问：哪些是干扰？拿掉它们，还剩下什么？
• 第二，关注“变化”的原因，而不是“状态”的原因。一件事保持现状往往不需要理由，发生改变才需要。分析一个人、一家公司、一个社会时，这个问题同样有用。
• 第三，找守恒量，记好账本。过程太复杂时，先找什么是不变的。
• 第四，用可能失败的预言检验想法。一个说法如果无论发生什么都能“解释”，它就什么也没有说。

16.5本书的核心贡献

1. 一个转变运动本身不需要原因，运动的改变才需要。从亚里士多德到牛顿，最难的一步是这个视角的翻转。
2. 一条公式F = ma：力决定加速度，质量是惯性。只要知道力，就能一步一步算出未来。锤子和羽毛一样快，是因为质量被约掉了。
3. 一对力力总是成对出现，作用在两个不同的物体上；由此得到动量守恒，解释了火箭、反冲和牛顿摆。
4. 一次统一月亮每秒偏离直线、落下约 1.36 毫米，与地面重力减弱 3600 倍吻合到约 1%：天上地下，同一套规律。月亮也在下落。
5. 一种数学把曲线切成小直线、把连续的力切成一次次推动（最初比与最终比），从开普勒定律读出引力的方向与大小；这也是今天计算机模拟运动的基本方法。
6. 两本账能量与动量：不追踪过程，也能算出过山车的速度、秋千最低点的速度和碰撞的结局。

16.6留给你的问题

1. 在你的生活里，有没有一条像“重的东西落得快”那样，看上去是常识、其实混进了干扰的“规律”？怎样设计一个实验，把干扰拿掉？
2. 第一定律说，保持现状不需要理由，改变才需要。你身边有哪些事情“一直如此”？让它改变，需要什么样的“力”？
3. 牛顿的月球检验，是用一个本来可能失败的数字来检验一个大胆的想法。你最近相信的某个观点，能不能给出一个“如果我错了，就会看到……”的检验？
4. 哈雷没有发现万有引力，但没有他，《原理》可能不会出版。在一项伟大的成就里，“提出好问题的人”和“出力把事情办成的人”分别有多重要？
5. 牛顿力学在三百年后被发现只是一个近似，却依然每天被使用。这对你看待“正确”与“有用”有什么启发？

16.7术语表

参考系

描述运动时选定的“不动”的物体，加上一把尺子和一只钟（第 3 章）

位移

从起点指向终点的箭头，是矢量；路程是轨迹长度（第 3 章）

加速度

速度变化的快慢，a = Δv/Δt，单位 m/s²（第 4 章）

力

物体对物体的作用，改变物体的形状或运动状态；单位牛（第 5 章）

惯性

物体保持原来运动状态的性质，质量是它的量度（第 6 章）

惯性参考系

第一定律成立的参考系：不受力的物体在其中保持静止或匀速直线运动（第 6 章）

牛顿第二定律

F = ma；原文是“运动的改变与所加的力成正比”（第 7 章）

超重与失重

支持力大于或小于重力的现象，由加速度方向决定；重力本身不变（第 7 章）

作用力与反作用力

两个物体之间等大、反向、同时存在、作用在不同物体上的一对力（第 8 章）

压强

单位面积上的压力，p = F/S；液体中 p = ρgh（第 9 章）

浮力

液体上下表面的压力差，等于排开液体的重力（第 9 章）

向心力

使物体做圆周运动的、指向圆心的合力，大小 mv²/r；由其他力扮演（第 10 章）

最初比与最终比

《原理》中的极限方法：无限接近的量最终相等（第 11 章）

万有引力定律

F = Gm₁m₂/r²（第 12 章）

第一宇宙速度

约 7.9 km/s，贴地绕地球做圆周运动的速度（第 12 章）

功与功率

功 W = Fs，功率 P = W/t（第 13 章）

动能与势能

½mv² 与 mgh；只有重力做功时两者之和守恒（第 13 章）

动量与冲量

p = mv；冲量 FΔt = Δp（第 14 章）

弹性碰撞

动量和动能都守恒的碰撞（第 14 章）

简谐运动

回复力与位移成正比、方向相反的振动；周期与振幅无关（第 15 章）

共振

驱动节奏接近固有频率时振幅显著增大的现象（第 15 章）

最后，回到那片月面。1971 年 8 月 2 日，斯科特松开双手，锤子和羽毛并排落下。那 1.4 秒里，它们在做自由落体；同一时刻，头顶上的指令舱正以每秒约 1.6 公里的速度绕月飞行，也在做自由落体；月亮本身，每一秒都偏离直线、朝地球落下约 1.36 毫米。三件事，同一条规律。

下次你抬头看月亮时，也许会想起：它也在下落。

本附录列出正文中可核查的关键史实与数据，以及它们的来源和可信度。标注说明：公开＝一手文献或权威机构直接给出；推导＝本书用正文中的公式自行计算，已写明算法；有争议＝史学界存在不同说法，正文已注明。带网址的条目已于 2026 年 9 月联网核对；其余条目给出通行的文献出处，读者可自行查证。

A.1史实

A.2本书推导的数字

若发现任何错误，欢迎指正。一个理论值得信任，是因为它允许被检验；一本书也是这样。